Вопрос ученика
Решите, пожалуйста.. Докажите, что для любого натурального n верно равенство:
а). n!+(n+1)!=n!(n+2)
б). (n+1)!-n!=n!n
в). (n-1)!+n!+(n+1)!=(n+1)^2(n-1)!
г). (n+1)!-n!+(n-1)!=(n^2+1)(n-1)!
Восклицтельный знак — это факториал.
^2 — означает в квадрате.
Ответ учителя
все (n+1)! равны n!*(n+1), а (n-1)!=n!/n. А далее просто:
а) n!+(n+1)!=n!+n!*(n+1)=n!(1+n+1)=n!(n+2)
б) (n+1)!-n!=n!*(n+1)-n!=n!(n+1-1)=n!n
в) (n-1)!+n!+(n+1)!=n!/n+n!+n!*(n+1)=(n!+n!n+n!*(n+1))/n=n!(1+n+n+1)/n=n!(2n+2)/n= =2n!(n+1)/n=(n+1)*2n!/n=(n+1)*2(n-1)! — мне кажется в третьем примере опечатка, значит, в четвертом, вероятно, тоже.
четвертый решается по принципу третьего.
